Transformasi Laplace dalam Mekatronika
Oleh: Purwadi Raharjo
Apakah transformasi Laplace itu dan apa perlunya
mempelajarinya?
Acapkali pertanyaan ini muncul dari seorang pemula, apalagi
begitu mendengar namanya yang berbau asing. Mirip seseorang yang baru mendengar
nama rumus Pythagoras, namanya saja sulit diucapkan apalagi isinya, begitu
pikirnya. Padahal setelah dipelajari, tidak sesulit dari yang dibayangkan.
Metoda matematika temuan seorang ahli matematika dan astronomi Perancis bernama
Pierre-Simon Laplace di tahun 1785 ini sebenarnya cukup penting, diantaranya
dalam bidang teknik kendali, karena sangat berguna untuk menyederhanakan
perhitungan-perhitungan.
Kita semua pasti telah mengetahui bahwa operasi perkalian
atau pembagian suatu persamaan matematik bisa sederhana menjadi operasi
penjumlahan atau pengurangan, jika dikenakan fungsi logaritma pada persamaan
tersebut. Misalkan untuk menghitung 105x107, jika
dikenakan operasi logaritma, maka akan menjadi persamaan . Ruas kanan nampak lebih mudah dihitung dengan kalkulator
karena hanya proses penjumlahan saja, bukan? Setelah melakukan proses
penjumlahan ini, lalu kita bisa tahu jawaban perkalian 105x107
, yaitu dengan melakukan proses kebalikan dari fungsi logaritma tadi.
Seperti di atas, dengan proses transformasi Laplace, kitapun
bisa menyederhanakan perhitungan suatu persamaan matematika yang mengandung
operasi turunan/diferensial atau integral menjadi persamaan yang berisi
perkalian atau pembagian biasa. Persamaan kalkulus yang rumit tersebut bisa
diubah (ditransformasikan) menjadi persamaan aljabar biasa. Inilah salah satu
letak keunggulan transformasi Laplace.
Tranformasi Laplace dari suatu fungsi f(t), yang ditulis
dengan notasi , terdefinisikan
sebagai berikut:
dengan s adalah bilangan kompleks.
Biasanya untuk beberapa fungsi f(t), sudah ada orang yang
pernah menghitung fungsi padanannya, sehingga kita tidak perlu susah-susah lagi
untuk melakukan pengintegralan dari definisi di atas. Fungsi hasil tranformasi
ini, yaitu F(s), dinamakan fungsi bayangan dari fungsi asal f(t). Di dalam
teknik kendali/elektronika, seringkali varibel t dari fungsi asal ini adalah
variabel waktu (time-domain), dan s dari fungsi bayangan adalah frekuensi
(frequency-domain).
Tabel di bawah ini adalah beberapa fungsi bayangan dari
fungsi asal setelah proses transformasi Laplace yang dihitung dari definisi di
atas.
Tabel 1. Fungsi asal padanan fungsi bayangannya
Fungsi asal, f(t) |
Fungsi bayangan, F(s) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Gb. 1 Transformasi dari wilayah waktu ke wilayah frekuensi
dengan transformasi Laplace.
Model Sistem Kendali
Motor DC dengan Transformasi Laplace
Sekarang mari kita melihat satu contoh penerapan
transformasi Laplace dalam mekatronika.
Gb. 2 Beberapa contoh motor DC
Ketika tegangan listrik disalurkan pada suatu motor DC, maka pada prinsipnya sistem yang terbentuk dapat digambarkan seperti Gb. 3 berikut.
Gb.3 Sistem rangkaian ekuivalen motor DC
Jika dialiri arus listrik yang tinggi, akan semakin kuat
tenaga putar motor DC tersebut. Sebaliknya, seperti dalam tape recorder,
jika baterai sudah lemah, maka suara kaset menjadi tidak karuan, karena motor
di dalamnya sudah tidak kuat lagi memutar pita kaset. Maka, bisa dikatakan
bahwa torsi (torque/tenaga putar)
yang dihasilkan berbanding lurus dengan besar arus listrik yang dialirkan pada
motor. Pada mobil mainan yang memakai baterai misalnya, semakin besar torsinya,
semakin sulit lajunya dihentikan dengan tangan kita. Jika Te ialah torsi, dan i adalah arus listrik, maka hubungannya
menjadi seperti berikut:
(1)
di mana Km ialah suatu konstanta
torsi.
Selanjutnya, e dalam Gb. 3 di atas adalah tegangan balik (electromotive force) yang terjadi karena
kumparan dalam motor berputar di dalam medan magnet (prinsip generator
listrik). Besar tegangan ini berbanding lurus dengan kecepatan putaran. Seperti yang terjadi di dalam dinamo sepeda atau kincir
angin, semakin cepat putarannya maka semakin besar nyala lampunya karena tinggi
tegangan yang dihasilkan. Maka, hubungannya bisa dinyatakan sebagai berikut:
(2)
di mana Ke adalah suatu konstanta.
Jika suatu motor dengan tahanan dan induktansi kumparan
motor masing-masing R dan L, berputar tanpa beban (kelembaman J=0 dan gesekan
Bm=0), maka hubungan tegangan dan arus listrik dalam rangkaian tertutup ini
bisa dinyatakan sebagai
(3)
Bagaimana jika pada sumbu motor dikenakan suatu beban dan
ada gesekan ?
Ketika motor diberi beban, maka kelembaman (J) pun harus
diperhitungkan. Menganalogikan torsi dengan gaya pada hukum Newton, yakni suatu
benda akan mendapatkan percepatan linear ketika dikenakan suatu gaya (°F=ma),
maka suatu benda yang diberi torsi pun akan berputar dengan percepatan sudut
yang berbanding lurus dengan torsi tersebut. Sehingga hubungan ini dapat
dituliskan sebagai berikut:
(4)
di mana J adalah inertia (kelembaman).
Gb. 4 Rumus hukum Newton untuk gerakan rotasi dianalogikan
dengan gerakan linear
Apabila terjadi gesekan ketika motor berputar, maka perlu
diperhitungkan juga pengurangan torsi akibat gesekan ini, yang besarnya
sebanding dengan kecepatan putaran dan
koefisien gesekan Bm.
(5)
Dengan demikian total torsi yang menyebabkan perubahan
kecepatan putaran adalah
(6)
Dengan memasukkan persamaan (1) dan (5) ke dalam persamaan
(8) maka diperoleh
(7)
Oleh karena , dan
sedangkan
transformasi Laplacenya masing-masing dinyatakan sebagai
dan
, maka persamaan (7) di atas setelah dilakukan transformasi
Laplace menjadi
(8)
Sementara itu, dari persamaan (3), tegangan listrik motor
menjadi
(9)
Jika dikenakan transformasi Laplace pada persamaan (9) ini,
maka kita peroleh:
(10)
Selanjutnya, dengan memasukkan persamaan (8) pada (10), bisa
didapat
(11)
Nampaklah di sini, persamaan-persamaan differensial di atas
berubah menjadi persamaan dengan proses aritmatika biasa, yang menunjukkan
hubungan antara tegangan motor V dan besar sudut putaran . Hanya saja, perlu diperhatikan bahwa di sini kita tidak
lagi ebermainf di wilayah waktu t.
Seperti ditunjukkan persamaan (11) di atas, secara umum
persamaan dalam sistem motor DC bisa direpresentasikan sebagai berikut
di mana, ,
, dan
adalah
bilangan-bilangan tetapan.
Bagaimana, apakah masih bingung dengan transformasi Laplace
ini? Baiklah, agar tidak terlalu melelahkan karena banyaknya rumus-rumus
matematika, kita potong dulu pembahasan ini sampai di sini. Yang penting dalam
sessi ini ialah, bahwa kita telah melihat manfaat transformasi Laplace untuk
merepresentasikan sistem pada motor DC menjadi sederhana. Pada pembahasan
selajutnya, persamaan Laplace di atas akan digunakan untuk melihat kestabilan
pengendalian putaran motor DC.
Referensi:
Nakagawa S., Simulasi Bipped Robot dengan MATLAB/Simulink dan design berbasis model, Cybernet SystemA2007, p.31-33 (in Japanese).